0966 190708

HÀM SỐ LŨY THỪA LÀ GÌ? LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 12 CHƯƠNG 2 BÀI 2

I. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y=xα(α∈R). Các hàm số lũy thừa tập xác định khác nhau, tùy theo α:

– Nếu α nguyên dương thì tập các định là R.

– Nếu α nguyên âm hoặc α=0 thì tập các định là R∖{0}.

– Nếu α không nguyên thì tập các định là (0;+∞).

II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

– Hàm số y=xα có đạo hàm tại mọi x∈(0;+∞) và y′=(xα)′=αxα−1

– Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng JJ thì hàm số y=uα(x) cũng có đạo hàm trên J

y ′=[uα(x)]′=αuα−1(x)u′(x)

III. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm lũy thừa y=xn có tập xác định là R và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x∈R,(xn)′=nxn−1 và ∀x∈J,[un(x)]′=nun−1(x)u′(x)nếu u=u(x) có đạo hàm trong khoảng J.

IV. Đạo hàm hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số y=xn có tập xác định là R∖{0} và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở  rộng  thành ∀x≠0,(xn)′=nxn−1

và ∀x∈J,[un(x)]′=nun−1(x)u′(x)

nếu u=u(x)≠0 có đạo hàm trong khoảng J.

V. Đạo hàm của căn thức

Hàm số y=n√x có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa y=x1/n (tập xác định của y=n√x chứa tập xác định của y= x1/n và trên tập xác định của y= x1/n thì hai hàm số trùng nhau).

Khi n lẻ thì hàm số y=n√x có tập xác định R. Trên khoảng (0;+∞) ta có y=n√x =x1/n  và (x1/n)′=1/nx1n−1do đó (n√x)′=1n√x-1.

Công thức này còn đúng cả với x<0

Khi n chẵn hàm y=n√x có tập xác định là [0;+∞), không có đạo hàm tại x=0 và có đạo hàm tại mọi x>0 tính theo công thức:

(n√x)′=1/nn√xn-1

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu u=u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x)>0,∀x∈J khi n chẵn, u(x)≠0,∀x∈J khi n lẻ thì

∀x∈J,(n√u(x))′=u′(x) / n√un-1(x)

VI. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞)

  • Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1).
  • Khi α>0 hàm số luôn đồng biến, khi α<0 hàm số luôn nghịch biến.
  • Đồ thị của hàm số không có tiệm cận khi α>0. Khi α<0 đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy.

V.Khảo sát hàm số lũy thừa

Ta có:

Hình dạng của đồ thị hàm số y=xα trong các trường hợp xét trên tập (0,+∞)

Bài tập

Tính đạo hàm hàm số lũy thừa: y=x−2/3;y=xπ;y=x√2

Lời giải chi tiết

y′=(x−2/3)′=−2/3.x(−2/3−1)=−2/3.x−5/3

y′=(xπ)′=π.xπ−1

y′=(x√2)′=√2.x√2−1

Để lại bình luận