0966 190708

MẶT CẦU: TOÁN 12 CHƯƠNG 6 BÀI 2

I. Định nghĩa mặt cầu

Mặt cầu là một dạng hình rất thường gặp trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Những đồ vật quen thuộc như quả bóng đá, trái cam, viên bi hay thậm chí là Trái Đất của chúng ta đều có dạng hình cầu. Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng không đổi r(r>0) được gọi là một mặt cầu tâm I bán kính r.

Khi đó:

* Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.

* Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

* Cho mặt cầu S(I;r) và điểm A trong không gian.

– Nếu IA=r thì điểm A nằm trên mặt cầu

– Nếu IA<r thì điểm A nằm trong mặt cầu.

– Nếu IA>r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.

II. Tính chất

Nếu điểm A ngoài mặt cầu S(O;r) thì:

– Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

– Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

– Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

III. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O;r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).

– Nếu h=r thì (P) tiếp xúc mặt cầu.

– Nếu h>r thì (P) không có điểm chung với mặt cầu.

– Nếu h<r thì (P) giao mặt cầu S(O;r) theo một đường tròn tâm H, bán kính

r=√r2−h2 nằm trên mặt phẳng (P).

 

IV. Giao của mặt cầu với đường thẳng

Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng ∆. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên ∆, đặt h=OH. Thế thì:

– Khi h=r ta có đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại H.

– Khi h<r: đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm A,B mà độ dài  AB=2√r2−h2

– Khi h>r đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu.

V. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Mặt cầu bán kính r có diện tích là S=4πr2

Khối cầu bán kính r có thể tích là V=43πr3

Với r là bán kính của mặt cầu.

 

BÀI TẬP

Bài 1:

a) Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (α) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (α) bằng r2

Phương pháp giải:

– Dựng hình, tính bán kính của từng đường tròn giao tuyến bằng cách áp dụng định lý Pi-ta-go.

– Từ đó kết luận cho từng câu a, b.

Xét tam giác OAH vuông tại H có OA=r,OH=r/2 nên: HA=√OA²−OH2 =√r2−r2/4=r√3/2

Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính r√3/2

b) Cho mặt cầu S(O; r), hai mặt phẳng (α) và (β) có khoảng cách đến tâm O lần lượt là a và b (0 < a < b < r). Hãy so sánh hai bán kính của các đường tròn giao tuyến.

Phương pháp giải:

– Dựng hình, tính bán kính của từng đường tròn giao tuyến bằng cách áp dụng định lý Pi-ta-go.

– Từ đó kết luận cho từng câu a, b.

Xét tam giác OHA vuông tại H có HA=√OA²−OH2 =√r2−a²

Xét tam giác OKB vuông tại KK có KB=√OB²−OK2 =√r2−b²

Mà 0<a<b<r nên 0<r2−b²<r2−a² ⇒√r2−b²<√r2−a² hay KB<HA

Vậy đường tròn cắt bởi (β) có bán kính nhỏ hơn bán kính đường tròn cắt bởi (α).

Bài 2:

Đề bài

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước.

Lời giải 

Do tâm mặt cầu cách đều hai điểm A, B nên tập hợp tâm cần tìm chính là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.

Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Để nhận tài liệu và bài tập từ onthidaihoc.net. bạn có thể đăng ký tại đây

Mọi thắc mắc, câu hỏi về đề kiểm tra toán, ngữ văn hoặc tiếng anh các bạn hãy gửi email về địa chỉ onthidaihoc.fm@gmail.com

Bài Viết Liên Quan