0966 190708

LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG: TOÁN 12 CHƯƠNG 7 BÀI 2

I. Phương trình mặt phẳng: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Cho mặt phẳng (P) , vectơ  →n≠→0 mà giá của nó vuông góc với mặt phẳng (P) thì →n được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

* Cho mặt phẳng (P) , cặp vectơ  →a≠→0, →b≠→0không cùng phương mà giá của chúng là hai đường thẳng song song hay nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P). Khi đó vectơ →n=[→a.→b] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

* Nếu →a = (a1;  a; a3) , →b = (b1 ; b2 ; b3) thì :

→n=[→a.→b]=

(a2b3 – a3b; a3b1 – a1b3 ; a1b2 – a2b1).

* Mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó, hay một điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương của nó.

II. Phương trình mặt phẳng.

* Mặt phẳng  (P) qua điểm M(x0 ; y; z0)  và nhận →n (A, B, C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình mặt phẳng dạng:       A(x  –  x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

* Mọi mặt phẳng trong không gian có phương trình tổng quát có dạng :

Ax + By + Cz +D = 0  ở đó  A2+ B2 + C > 0.

Khi đó vectơ →n(A ; B ; C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Mặt phẳng đi qua ba điểm M(a ; 0 ; 0), N( 0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) ở đó abc ≠ 0 có phương trình :xa+yb+zc=1. Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình :

(P1) :    A1x + B1y  + C1z + D1 = 0

(P2) :    A2x + B2y  + C2z + D2 = 0

Ta có →n1(A; B1 ; C1) ⊥  (P1) và →n2(A; B2 ; C2) ⊥  (P2) . Khi đó:

(P1) ⊥  (P2)  ⇔ →n1⊥→n2 ⇔ →n1.→n2  ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

(P1) // (P2)  ⇔  →n1→=k.n2→ và  D1 ≠ k.D2 (k ≠ 0).

(P1) ≡ (P2)  ⇔ →n1→=k.n2→  và  D1 = k.D2.

(P1) cắt (P2)  ⇔  →n1≠k.→n2→ (nghĩa là →n1 và →n2 không cùng phương).

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Trong không gian Oxyz cho phương trình mặt phẳng (P):

Ax + By + Cz +D = 0 và điểm M(x0 ; y; z0). Khoảng cách từ Mđến (P) được cho bởi công thức:

d(M0,P)=|A x0+B y0 +C z0+D|√A2+B2+C2

V. Góc giữa hai  mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình :

(P1) :    A1x + B1y  + C1z + D1 = 0;

(P2) :    A2x + B2y  + C2z + D2 = 0.

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P1) và (P2)  thì 0 ≤ φ ≤ 90và :

cosφ=|cosˆ(→n1,→n2)|=|A1A2+B1B2+C1C2+D| / √A²1+B²1+C²1.√A²2+B²2+C²2


BÀI TẬP

Đề bài

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1;1;1),N(4;3;2),P(5;2;1)

Lời giải chi tiết

→MN=(3,2,1);→NP=(1,−1,−1)[→MN,→NP]=(−1,4,−5)

⇒ Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là →n(1,−4,5)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) với M(1;1;1),N(4;3;2),P(5;2;1) là: (x−1)−4(y−1)+5(z−1)=0

Hay x−4y+5z−2=0

Để nhận tài liệu và bài tập từ onthidaihoc.net. bạn có thể đăng ký tại đây

Mọi thắc mắc, câu hỏi về đề kiểm tra toán, ngữ văn hoặc tiếng anh các bạn hãy gửi email về địa chỉ onthidaihoc.fm@gmail.com

Bài Viết Liên Quan